Q:The product of two numbers is 2028 and their Highest Common Factor (H.C.F.) is 13. How many such pairs of numbers exist?
Options:
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
Explanation:
Step 1: Analyze the given information:
-
We know the product of two numbers is 2028 (xy = 2028).
-
We also know their H.C.F. is 13. This implies both numbers must be divisible by 13.
Step 2: Express the numbers using their H.C.F.:
Let the two numbers be x and y. Since their H.C.F. is 13, we can express them as:
-
x = 13 * a (where a is an integer)
-
y = 13 * b (where b is an integer)
Step 3: Substitute and simplify the product equation:
Substitute the expressions for x and y into the product equation:
-
(13 * a) * (13 * b) = 2028
-
13^2 * a * b = 2028
-
Divide both sides by 13^2:
-
a * b = 12
Step 4: Find pairs with product 12 and H.C.F. 1:
We need to find pairs of integers (a, b) whose product is 12 and their H.C.F. is 1 (since the H.C.F. of x and y is ultimately 13, the H.C.F. of a and b must be 1). Possible pairs with product 12 and H.C.F. 1 are:
-
(1, 12) and (3, 4)
Step 5: Determine the number of pairs:
Therefore, there are two pairs of numbers (x, y) that satisfy the given conditions:
-
(13, 156) and (39, 52)
Answer:
Hence, the number of such pairs is 2 (option B).
Hindi
प्रश्न: दो संख्याओं का गुणनफल 2028 है और उनका उच्चतम सामान्य गुणनखंड (एचसीएफ) 13 है। संख्याओं के ऐसे कितने जोड़े मौजूद हैं?
विकल्प:
ए) 1
बी) 2
सी) 3
डी) 4
स्पष्टीकरण:
चरण 1: दी गई जानकारी का विश्लेषण करें:
-
हम जानते हैं कि दो संख्याओं का गुणनफल 2028 है (xy = 2028)।
-
हम यह भी जानते हैं कि उनका HCF 13 है। इसका तात्पर्य यह है कि दोनों संख्याएँ 13 से विभाज्य होनी चाहिए।
चरण 2: संख्याओं को उनके एचसीएफ का उपयोग करके व्यक्त करें:
माना कि दो संख्याएँ x और y हैं। चूँकि उनका HCF 13 है, हम उन्हें इस प्रकार व्यक्त कर सकते हैं:
-
x = 13 * a (जहाँ a एक पूर्णांक है)
-
y = 13 * b (जहां b एक पूर्णांक है)
चरण 3: उत्पाद समीकरण को प्रतिस्थापित और सरल करें:
उत्पाद समीकरण में x और y के व्यंजक रखें:
-
(13 * ए) * (13 * बी) = 2028
-
13^2 * ए * बी = 2028
-
दोनों पक्षों को 13^2 से विभाजित करें:
-
ए * बी = 12
चरण 4: उत्पाद 12 और एचसीएफ 1 के साथ जोड़े खोजें:
हमें पूर्णांकों (ए, बी) के जोड़े ढूंढने होंगे जिनका गुणनफल 12 है और उनका एचसीएफ 1 है (चूंकि x और y का एचसीएफ अंततः 13 है, ए और बी का एचसीएफ 1 होना चाहिए)। उत्पाद 12 और एचसीएफ 1 के साथ संभावित जोड़े हैं:
-
(1, 12) और (3, 4)
चरण 5: जोड़ियों की संख्या निर्धारित करें:
इसलिए, संख्याओं (x, y) के दो जोड़े हैं जो दी गई शर्तों को पूरा करते हैं:
-
(13, 156) और (39, 52)
उत्तर:
अतः, ऐसे युग्मों की संख्या 2 है (विकल्प B)।
Telugu
ప్ర: రెండు సంఖ్యల ఉత్పత్తి 2028 మరియు వాటి అత్యధిక సాధారణ కారకం (HCF) 13. అటువంటి సంఖ్యల జతలు ఎన్ని ఉన్నాయి?
ఎంపికలు:
ఎ) 1
బి) 2
సి) 3
డి) 4
వివరణ:
దశ 1: అందించిన సమాచారాన్ని విశ్లేషించండి:
-
రెండు సంఖ్యల లబ్ధం 2028 (xy = 2028) అని మాకు తెలుసు.
-
వారి HCF 13 అని కూడా మాకు తెలుసు. ఇది రెండు సంఖ్యలు తప్పనిసరిగా 13తో భాగించబడాలని సూచిస్తుంది.
దశ 2: వారి HCF ఉపయోగించి సంఖ్యలను వ్యక్తపరచండి:
రెండు సంఖ్యలు x మరియు y గా ఉండనివ్వండి. వారి HCF 13 కాబట్టి, మేము వాటిని ఇలా వ్యక్తీకరించవచ్చు:
-
x = 13 * a (ఇక్కడ a అనేది పూర్ణాంకం)
-
y = 13 * b (ఇక్కడ b అనేది పూర్ణాంకం)
దశ 3: ఉత్పత్తి సమీకరణాన్ని ప్రత్యామ్నాయం చేయండి మరియు సరళీకృతం చేయండి:
ఉత్పత్తి సమీకరణంలో x మరియు y కోసం వ్యక్తీకరణలను ప్రత్యామ్నాయం చేయండి:
-
(13 * ఎ) * (13 * బి) = 2028
-
13^2 * a * b = 2028
-
రెండు వైపులా 13^2 ద్వారా విభజించండి:
-
a * b = 12
దశ 4: ఉత్పత్తి 12 మరియు HCF 1తో జతలను కనుగొనండి:
మేము పూర్ణాంకాల జతలను కనుగొనాలి (a, b) దీని ఉత్పత్తి 12 మరియు వాటి HCF 1 (x మరియు y యొక్క HCF చివరికి 13 కాబట్టి, a మరియు b యొక్క HCF తప్పనిసరిగా 1 అయి ఉండాలి). ఉత్పత్తి 12 మరియు HCF 1తో సాధ్యమైన జతలు:
-
(1, 12) మరియు (3, 4)
దశ 5: జతల సంఖ్యను నిర్ణయించండి:
కాబట్టి, ఇచ్చిన షరతులను సంతృప్తిపరిచే రెండు జతల సంఖ్యలు (x, y) ఉన్నాయి:
-
(13, 156) మరియు (39, 52)
సమాధానం:
అందువల్ల, అటువంటి జతల సంఖ్య 2 (ఎంపిక B).
Tamil
கே: இரண்டு எண்களின் பெருக்கல் 2028 மற்றும் அவற்றின் மிக உயர்ந்த பொதுவான காரணி (HCF) 13. இது போன்ற எத்தனை ஜோடி எண்கள் உள்ளன?
விருப்பங்கள்:
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
விளக்கம்:
படி 1: கொடுக்கப்பட்ட தகவலை பகுப்பாய்வு செய்யுங்கள்:
-
இரண்டு எண்களின் பலன் 2028 (xy = 2028) என்பது நமக்குத் தெரியும்.
-
அவற்றின் HCF 13 என்றும் எங்களுக்குத் தெரியும். இரண்டு எண்களும் 13 ஆல் வகுக்கப்பட வேண்டும் என்பதை இது குறிக்கிறது.
படி 2: எண்களை அவற்றின் HCF ஐப் பயன்படுத்தி வெளிப்படுத்தவும்:
இரண்டு எண்களும் x மற்றும் y ஆக இருக்கட்டும். அவர்களின் HCF 13 ஆக இருப்பதால், நாம் அவற்றை இவ்வாறு வெளிப்படுத்தலாம்:
-
x = 13 * a (இங்கு a என்பது ஒரு முழு எண்)
-
y = 13 * b (இங்கு b என்பது முழு எண்)
படி 3: தயாரிப்பு சமன்பாட்டை மாற்றவும் மற்றும் எளிமைப்படுத்தவும்:
x மற்றும் yக்கான வெளிப்பாடுகளை தயாரிப்பு சமன்பாட்டில் மாற்றவும்:
-
(13 * a) * (13 * b) = 2028
-
13^2 * a * b = 2028
-
இரு பக்கங்களையும் 13^2 ஆல் வகுக்கவும்:
-
a * b = 12
படி 4: தயாரிப்பு 12 மற்றும் HCF 1 உடன் ஜோடிகளைக் கண்டறியவும்:
நாம் ஜோடி முழு எண்களைக் கண்டறிய வேண்டும் (a, b) அதன் தயாரிப்பு 12 மற்றும் அவற்றின் HCF 1 (x மற்றும் y இன் HCF இறுதியில் 13 ஆக இருப்பதால், a மற்றும் b இன் HCF 1 ஆக இருக்க வேண்டும்). தயாரிப்பு 12 மற்றும் HCF 1 உடன் சாத்தியமான ஜோடிகள்:
-
(1, 12) மற்றும் (3, 4)
படி 5: ஜோடிகளின் எண்ணிக்கையை தீர்மானிக்கவும்:
எனவே, கொடுக்கப்பட்ட நிபந்தனைகளை பூர்த்தி செய்யும் இரண்டு ஜோடி எண்கள் (x, y) உள்ளன:
-
(13, 156) மற்றும் (39, 52)
பதில்:
எனவே, அத்தகைய ஜோடிகளின் எண்ணிக்கை 2 (விருப்பம் B).
Spanish
P: El producto de dos números es 2028 y su máximo común divisor (HCF) es 13. ¿Cuántos pares de números existen?
Opciones:
A) 1
b) 2
c) 3
D) 4
Explicación:
Paso 1: Analizar la información proporcionada:
-
Sabemos que el producto de dos números es 2028 (xy = 2028).
-
También sabemos que su HCF es 13. Esto implica que ambos números deben ser divisibles por 13.
Paso 2: Expresa los números usando su HCF:
Sean los dos números x e y. Como su HCF es 13, podemos expresarlos como:
-
x = 13 * a (donde a es un número entero)
-
y = 13 * b (donde b es un número entero)
Paso 3: Sustituye y simplifica la ecuación del producto:
Sustituye las expresiones de xey en la ecuación del producto:
-
(13*a)* (13*b) = 2028
-
13^2 * a * b = 2028
-
Divide ambos lados por 13^2:
-
a * b = 12
Paso 4: Encuentra pares con el producto 12 y HCF 1:
Necesitamos encontrar pares de números enteros (a, b) cuyo producto sea 12 y su HCF sea 1 (dado que el HCF de xey es, en última instancia, 13, el HCF de ayb debe ser 1). Los posibles pares con el producto 12 y HCF 1 son:
-
(1, 12) y (3, 4)
Paso 5: Determinar el número de pares:
Por tanto, existen dos pares de números (x, y) que satisfacen las condiciones dadas:
-
(13, 156) y (39, 52)
Respuesta:
Por tanto, el número de dichos pares es 2 (opción B).
French
Q : Le produit de deux nombres est 2028 et leur plus grand facteur commun (HCF) est 13. Combien de paires de nombres de ce type existe-t-il ?
Possibilités :
A)1
B)2
C)3
D)4
Explication:
Étape 1 : Analysez les informations fournies :
-
Nous savons que le produit de deux nombres est 2028 (xy = 2028).
-
Nous savons également que leur HCF est de 13. Cela implique que les deux nombres doivent être divisibles par 13.
Étape 2 : Exprimez les nombres en utilisant leur HCF :
Soit les deux nombres x et y. Puisque leur HCF est de 13, on peut les exprimer ainsi :
-
x = 13 * a (où a est un entier)
-
y = 13 * b (où b est un entier)
Étape 3 : Remplacez et simplifiez l'équation du produit :
Remplacez les expressions pour x et y dans l'équation du produit :
-
(13 * a) * (13 * b) = 2028
-
13^2 * a * b = 2028
-
Divisez les deux côtés par 13^2 :
-
une * b = 12
Étape 4 : Trouver les paires avec le produit 12 et HCF 1 :
Nous devons trouver des paires d'entiers (a, b) dont le produit est 12 et leur HCF est 1 (puisque le HCF de x et y est finalement 13, le HCF de a et b doit être 1). Les paires possibles avec le produit 12 et HCF 1 sont :
-
(1, 12) et (3, 4)
Étape 5 : Déterminez le nombre de paires :
Il existe donc deux paires de nombres (x, y) qui satisfont aux conditions données :
-
(13, 156) et (39, 52)
Répondre:
Par conséquent, le nombre de ces paires est de 2 (option B).